Калькулятор объёма геометрических тел
Рассчитайте объём куба, параллелепипеда, шара, цилиндра, конуса, пирамиды, призмы и усечённого конуса. Формулы, примеры и таблица единиц.
V = a³
a — длина ребра куба
a — длина ребра куба
V = a × b × c
a, b, c — длина, ширина, высота
a, b, c — длина, ширина, высота
V = (4/3) × π × r³
r — радиус шара
r — радиус шара
V = π × r² × h
r — радиус, h — высота
r — радиус, h — высота
V = (1/3) × π × r² × h
r — радиус основания, h — высота
r — радиус основания, h — высота
V = (1/3) × S_осн × h
S — площадь основания, h — высота
S — площадь основания, h — высота
V = S_осн × h
S — площадь основания (треугольник),
h — длина (высота призмы)
S — площадь основания (треугольник),
h — длина (высота призмы)
V = (π×h/3)×(R²+Rr+r²)
R — радиус основания, r — радиус верхнего торца
R — радиус основания, r — радиус верхнего торца
📋 Содержание
Все формулы объёмов геометрических тел
| Тело | Формула | Параметры |
|---|---|---|
| Куб | V = a³ | a — ребро |
| Прямоугольный параллелепипед | V = a × b × c | a, b, c — стороны |
| Шар | V = (4/3) × π × r³ | r — радиус |
| Цилиндр | V = π × r² × h | r — радиус, h — высота |
| Конус | V = (1/3) × π × r² × h | r — радиус осн., h — высота |
| Пирамида (любое осн.) | V = (1/3) × S × h | S — площадь осн., h — высота |
| Треугольная призма | V = (1/2) × a × b × h | a, b — стороны треуг., h — длина |
| Усечённый конус | V = (π×h/3)×(R²+Rr+r²) | R, r — радиусы, h — высота |
| Правильный шестиугольник (призма) | V = (3√3/2) × a² × h | a — сторона, h — высота |
| Эллипсоид | V = (4/3) × π × a × b × c | a, b, c — полуоси |
Единицы объёма и перевод
Объём выражается в кубических единицах длины или в единицах ёмкости. Основная единица СИ — кубический метр (м³).
1 м³= 1 000 дм³ = 1 000 л = 1 000 000 см³
1 дм³ = 1 л= 1 000 см³ = 1 000 000 мм³
1 см³= 1 мл = 1 000 мм³
1 дюйм³= 16,387 см³ = 0,016387 л
1 фут³= 28,317 л = 0,028317 м³
1 галлон (US)= 3,785 л = 3785 см³
Примеры расчётов
Пример 1: Шар диаметром 20 см
r = 20/2 = 10 см; V = (4/3) × π × 10³ = 4,189 × 1000 = 4 189 см³ ≈ 4,189 л
Футбольный мяч (~21 см) имеет объём около 4,85 л
Пример 2: Цилиндрическая бочка r=30 см, h=80 см
V = π × 30² × 80 = 3,1416 × 900 × 80 = 226 195 см³ ≈ 226 л
Стандартная 200-литровая бочка: r≈28 см, h≈83 см
Пример 3: Пирамида Хеопса (упрощённо)
a=230 м, h=139 м; V = (1/3) × 230² × 139 = (1/3) × 52900 × 139 ≈ 2 450 000 м³
Реальный объём ~2,6 млн м³ с учётом точной геометрии
Сравнение объёмов фигур при одинаковом «размере»
При ребре/диаметре/стороне = 10 см и высоте = 10 см:
| Фигура | Объём (см³) | Объём (л) | % от цилиндра |
|---|---|---|---|
| Цилиндр (r=5, h=10) | 785,4 | 0,785 | 100% |
| Куб (a=10) | 1 000 | 1,000 | 127% |
| Шар (r=5) | 523,6 | 0,524 | 67% |
| Конус (r=5, h=10) | 261,8 | 0,262 | 33% |
| Пирамида квадр. (a=10, h=10) | 333,3 | 0,333 | 42% |
| Призма треугольная (a=10, b=10, h=10) | 500 | 0,500 | 64% |
Частые вопросы
Чему равен объём шара диаметром 1 м?
r = 0,5 м. V = (4/3) × π × 0,5³ = (4/3) × 3,1416 × 0,125 = 0,5236 м³ ≈ 523,6 л. Для сравнения: куб со стороной 1 м имеет объём ровно 1 м³ — почти вдвое больше.
Как перевести кубические сантиметры в литры?
1 л = 1 дм³ = 1000 см³. Чтобы перевести см³ в литры, разделите на 1000. Например, 4189 см³ ÷ 1000 = 4,189 л. Обратно: литры × 1000 = см³.
Почему объём конуса в 3 раза меньше цилиндра?
Это фундаментальный результат математики, доказанный ещё Архимедом. Конус можно рассматривать как пирамиду с круглым основанием, а объём любой пирамиды равен 1/3 объёма «обёртывающего» цилиндра той же высоты. Аналогично пирамида с квадратным основанием занимает 1/3 объёма параллелепипеда.
Какая фигура имеет наибольший объём при одинаковой поверхности?
Шар. Это решение классической изопериметрической задачи: среди всех тел с одинаковой площадью поверхности шар имеет максимальный объём. Именно поэтому мыльные пузыри принимают форму шара, а многие органы (яйца, семена) стремятся к этой форме для минимизации поверхности при максимальном объёме.
Как рассчитать объём неправильной фигуры?
Два практических способа: 1) Метод вытеснения воды (принцип Архимеда) — погрузить тело в мерный сосуд с водой и измерить объём вытесненной воды. 2) Разбиение на простые фигуры — сложное тело разбивается на кубы, цилиндры, призмы, объёмы которых суммируются. Для сложных форм используется 3D-моделирование.