Калькулятор векторов онлайн
Сложение, вычитание, скалярное и векторное произведение, модуль вектора, угол между векторами — в 2D и 3D.
Шесть операций для двумерных и трёхмерных векторов с подстановкой значений в формулу и пошаговым расчётом.
Размерность:
Быстрые пресеты:
Вектор a
Вектор b
Результат
—
—
—
——
——
——
—Пошаговое решение
—
Как пользоваться калькулятором
Выберите размерность (2D или 3D), затем операцию. Введите координаты векторов a и b. Для операции «Модуль |a|» вектор b не нужен. Нажмите «Рассчитать» — калькулятор покажет результат с формулой и пошаговой подстановкой значений.
Используйте пресеты для быстрой проверки или обучения. Поддерживаются отрицательные числа и дроби.
Формулы операций над векторами
Сложение и вычитание
a ± b = (ax±bx, ay±by, az±bz). Компоненты складываются или вычитаются поэлементно.
Скалярное произведение
a · b = ax·bx + ay·by + az·bz. Результат — число. Равно нулю для перпендикулярных векторов.
Векторное произведение (3D)
a × b = (ay·bz−az·by, az·bx−ax·bz, ax·by−ay·bx). Результат — вектор, перпендикулярный плоскости a и b.
Модуль и угол
|a| = √(ax²+ay²+az²). Угол: cos φ = (a·b)/(|a|·|b|), φ = arccos(…), результат в градусах.
Сводная таблица операций над векторами
| Операция | Формула | Тип результата | Применение |
|---|---|---|---|
| Сложение | c = a + b | Вектор | Равнодействующая сил |
| Вычитание | c = a − b | Вектор | Разность перемещений |
| Скалярное произведение | a · b = |a||b|cos φ | Число | Работа силы, угол |
| Векторное произведение | |a×b| = |a||b|sin φ | Вектор | Момент силы, нормаль |
| Модуль (длина) | |a| = √(x²+y²+z²) | Число | Длина, расстояние |
| Угол между векторами | φ = arccos(a·b / |a||b|) | Градусы | Геометрия, физика |
Где применяются векторные вычисления
Физика и механика
Сложение сил, скоростей, импульсов. Момент силы через векторное произведение r × F.
3D-графика и игры
Вычисление нормалей к поверхностям, освещение, пересечение лучей — всё через векторное произведение.
Навигация и геодезия
Определение направления и расстояния между точками в пространстве, курсовые углы.
Машинное обучение
Скалярное произведение лежит в основе нейросетей: dot-product attention, косинусное сходство.
Примеры расчёта
Пример 1 — векторное произведение
Задача: a = (1, 0, 0), b = (0, 1, 0). Найти a × b.
Решение: x = 0·0−0·1 = 0; y = 0·0−1·0 = 0; z = 1·1−0·0 = 1. Ответ: (0, 0, 1) — единичный вектор вдоль оси Z.
Пример 2 — угол между векторами
Задача: a = (1, 0, 0), b = (1, 1, 0). Найти угол.
Решение: a·b = 1. |a| = 1, |b| = √2. cos φ = 1/√2. φ = arccos(1/√2) = 45°.
Частые вопросы
Чем скалярное произведение отличается от векторного?
Скалярное произведение (a · b) даёт число — проекцию одного вектора на другой. Векторное произведение (a × b) даёт новый вектор, перпендикулярный обоим исходным. Векторное произведение определено только в 3D.
Что значит, если скалярное произведение равно нулю?
Если a · b = 0 и оба вектора ненулевые — они перпендикулярны (ортогональны). Это свойство активно используется в геометрии, физике и машинном обучении для проверки ортогональности.
Почему векторное произведение работает только в 3D?
Векторное произведение требует третьего измерения для построения перпендикулярного вектора. В 2D аналогом является псевдоскалярное произведение: ax·by − ay·bx, которое даёт z-компоненту «3D-результата».
Как проверить, коллинеарны ли два вектора?
Вычислите векторное произведение a × b. Если результат — нулевой вектор (0, 0, 0), векторы коллинеарны (параллельны или антипараллельны). Также можно проверить: a × b = 0 эквивалентно |sin φ| = 0, то есть угол между векторами 0° или 180°.